Kužel

Z Multimediaexpo.cz

Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Multimediaexpo.cz pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl a Encyklopedický styl.

Kužel je oblé těleso, které získáme jako průnik kuželového prostoru a rovinné vrstvy. Část kuželové plochy, která tvoří povrch kužele je označována jako plášť kužele. Řez kuželového prostoru hraniční rovinou vrstvy se nazývá podstava. Plášť kužele a podstavu nazýváme společným názvem povrch kužele. Bod, ve kterém se rovinný řez kužele redukuje na bod, se označuje jako vrchol kužele. Kolmou vzdálenost mezi podstavou a vrcholem nazýváme výškou kužele. Vzdálenost mezi vrcholem a podstavou podél pláště nazýváme stranou kužele. Je-li podstavou kužele kruh, pak jej označíme jako kruhový. Pokud kolmice spuštěná z vrcholu na rovinu podstavy prochází středem podstavy kruhového kužele, pak kužel označujeme jako rotační kužel nebo kolmý kruhový kužel. Pokud kruhový kužel není kolmý, pak jej označujeme jako kosý.

Obsah [skrýt] 1 Kuželová plocha a prostor 1.1 Rovnice 2 Vlastnosti 3 Rotační kužel 3.1 Vlastnosti 3.2 Kuželosečky 4 Související články

Kuželová plocha a prostor

Mějme jednoduchou uzavřenou křivku $k$, která leží v rovině. Body, které leží přímkách procházejících libovolným bodem křivky $k$ a bodem $V$ ležícím mimo rovinu křivky $k$ tvoří kuželovou plochu. Část prostoru ohraničená kuželovou plochou se nazývá kuželový prostor. Kuželová plocha je množina bodů v prostoru, která vznikne z kužele tím, že odstraním podstavu a každou úsečku pláště (tj. spojnici vrcholu kužele s bodem hranice podstavy) prodloužím na přímku. Nejlepší představa je taková ,že se jedná o dva středově souměrné (podle vrcholu kužele) kornouty jdoucí do nekonečna.

Rovnice

Kuželová plocha (kvadratický kužel) s vrcholem v počátku, která v rovině $z=c$ prochází elipsou $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (tzv. řídící křivka), má rovnici

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$

Přímky, které tvoří povrch kužele se nazývají tvořící přímky. Tato plocha je asymptotickou plochou (asymptotickým kuželem) hyperboloidů

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=\pm 1$

Pro $a=b$ jde o rotační kužel s osou rotace $z$. Kuželovou plochu s vrcholem v bodě $[x_0,y_0,z_0]$ je vždy možné vyjádřit rovnicí

$F(\frac{x-x_0}{z-z_0},\frac{y-y_0}{z-z_0})=0$

Vlastnosti

Pro objem kužele platí

$V=\frac{1}{3}\cdot S_p\cdot v$,

kde $S_p$ je obsah podstavy a $v$ je výška kužele.

Rotační kužel

Rotační kužel je rotační těleso vzniklé otáčením pravoúhlého trojúhelníku v prostoru okolo jedné z odvěsen. Otáčením druhé odvěsny vznikne kruhová podstava kužele (někdy také nazývaná jako základna kužele), otáčením přepony pak kuželová plocha nebo jinak plášť kužele. Tento plášť je v podstatě „stočená“ kruhová výseč, jejíž úhel záleží na poměru výšky kužele a poloměru podstavy. Společný vrchol přepony a osy otáčení nazýváme vrchol kužele.

Vlastnosti

Označíme-li $r$ poloměr kruhové podstavy kužele a $h$ výšku kužele (t.j. vzdálenost vrcholu kužele od základny), pak lze vypočítat:

• poloměr pláště (tj. vzdálenost vrcholu kužele od hraniční kružnice podstavy neboli délku strany pláště) pomocí Pythagorovy věty jako

$s=\sqrt{r^2+h^2}$

• objem kužele jako

$V=\frac{\pi r^{2}h}{3}$

• povrch kužele jako součet obsahu podstavy $S_p=\pi r^2$ a obsahu pláště $S_{pl}=\pi rs$

$S=S_p+S_{pl}=\pi r(r+s)$

• Symetrické vlastnosti
  • Kužel není středově souměrný.
  • Kužel je osově souměrný podle spojnice vrcholu kužele se středem podstavy.
  • Kužel je rovinově souměrný podle nekonečně mnoha rovin - rovinou souměrnosti je každá rovina, která v sobě obsahuje jeho osu (tj. vrchol a střed podstavy).
• V jistém smyslu je kužel „limitním případem“ posloupnosti pravidelných n-bokých jehlanů pro n jdoucí do nekonečna. To je ostatně vidět i ze vzorce pro objem, který je hodně podobný vzorci pro objem jehlanu.

Kuželosečky

Z geometrického pohledu jsou zajímavé řezy rotační kuželové plochy, tj. průniky této plochy s nějakou rovinou. Singulární řezy kužele - pokud rovina řezu prochází vrcholem kužele, mohou nastat tři případy:

• průnikem je bod (vrchol kužele), pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
• průnikem je přímka ležící na kuželové ploše, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
• průnikem jsou dvě přímky, které se protínají ve vrcholu kužele, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele)

Regulární řezy kužele - pokud rovina řezu neprochází vrcholem kužele, mohou nastat čtyři případy:

• průnikem je kružnice, pokud je rovina řezu kolmá na osu kužele
• průnikem je elipsa, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou, ale rovina řezu není kolmá na osu kužele
• průnikem je parabola, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
• průnikem je hyperbola, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele)

To je důvod, proč jsou elipsa, parabola a hyperbola nazývány souhrnně kuželosečkami.

Související články

• Geometrický útvar
• Kvadratická plocha
• Oblá tělesa
• Mnohostěn
• Válec
• Jehlan
• Komolý kužel
• Elipsa
• Parabola
• Hyperbola

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii