Vrh šikmý

Z Multimediaexpo.cz

(Přesměrováno)

Vrh šikmý je pohyb tělesa v homogenním gravitačním poli, při kterém počáteční rychlost svírá s horizontem nenulový elevační úhel.

Pokud vrh probíhá ve vakuu, pohybuje se těleso po parabole, ve vzduchu (tzn. s nezanedbatelným odporem vzduchu) po tzv. balistické křivce.

Matematický model

Předpokládejme, že těleso má počáteční rychlost v₀ svírající s vodorovným směrem elevační úhel α. Následný pohyb (ve vakuu, resp. při zanedbání odporu vzduchu) se skládá z rovnoměrného přímočarého pohybu touto rychlostí v původním směru (tímto směrem položíme osu x) a z volného pádu (tedy rovnoměrně zrychleného pohybu) ve směru gravitačního zrychlení g, který lze ztotožnit s pohybem ve směru osy y. Ve směru osy z tedy pohyb neprobíhá (trajektorií tedy bude rovinná křivka).

Proto platí:

x = x_{0} + v_{0} t \cos α

,

y = y_{0} + v_{0} t \sin α - \frac{1}{2} g t^{2}

.

Obvykle je vhodné položit počátek soustavy souřadnic do bodu $[x_{0}, y_{0}]$ .

Z uvedených rovnic lze určit maximální dosaženou výšku:

y_{m a x} = y_{0} + \frac{1}{2} \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} α}{g}

a délku vrhu (tedy vzdálenost, po které těleso klesne do původní výšky), neboli dostřel:

d = \frac{v_{0}^{2}}{g} \sin 2 α

Při pohybu v prostředí s nezanedbatelným odporem opisuje těleso asymetrickou balistickou křivku, u které je délka vrhu kratší než u pohybu při zanedbání odporu vzduchu.

Speciální případy

Volný pád - Počáteční rychlost je nulová a pro rychlost dostáváme vztah $v = g t$ . Dráha, kterou těleso urazí od počátku do času $t$ je $s = \frac{1}{2} g t^{2}$ .

Svislý vrh vzhůru - Celý pohyb probíhá pouze ve směru osy y (elevační úhel $α = \frac{π}{2}$ ). Počáteční rychlost $v_{0}$ je nenulová (pro nulovou počáteční rychlost by se jednalo o volný pád). Pro rychlost pak dostaneme vztah $v = v_{0} - g t$ . Vzdálenost (okamžitá výška) tělesa nad bodem, z něhož bylo vrženo, je dána vztahem $s = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$ . V nejvyšším bodě výstupu je rychlost nulová. Odsud získáme dobu výstupu $T = \frac{v_{0}}{g}$ . Dosazením do vztahu pro dráhu dostaneme po úpravě výšku výstupu $h = \frac{v_{0}^{2}}{2 g}$ . Z nejvyššího bodu trajektorie padá těleso zpět volným pádem a bodu, z něhož bylo vrženo dosáhne za dobu, která se rovná době výstupu.

Vodorovný vrh - Při vodorovném vrhu směřuje počáteční rychlost ve směru osy x (elevační úhel $α = 0$ ). Délka vrhu je vzdálenost za kterou dojde ke změně y-ové souřadnice o velikost $h$ . Platí pro ni doba letu $T = \sqrt{\frac{2 h}{g}}$ . Dosazením doby letu do vztahu pro x-ovou souřadnici získáme délku vrhu $d = v_{0} \sqrt{\frac{2 h}{g}}$ .

Související články

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii