Polární soustava souřadnic
Z Multimediaexpo.cz
Polární soustava souřadnic je taková soustava souřadnic v rovině, u které jedna souřadnice (označovaná \(r\)) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná \(\varphi\)) udává úhel spojnice tělesa a počátku od zvolené osy ležící v rovině (nejčastěji jí odpovídá osa \(x\) kartézských souřadnic). Jedná se o ortogonální soustavu souřadnic s Lamého koeficienty
\(h_r = 1 \quad h_{\varphi} = r\).
Polární soustava souřadnic je vhodná v případech takových pohybů, při nichž se nemění vzdálenost tělesa od jednoho bodu (počátku souřadnic), například u pohybu po kružnici, případně se tato vzdálost mění s nějakou jednoduchou závislostí.
Transformace polárních souřadnic na kartézské:
- \(x = r \cos{\varphi}\,\)
- \(y = r \sin{\varphi}\,\)
Převod kartézských souřadnic na polární:
- \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)
- \(\varphi = \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)\)
Tato převodní funkce však funguje jen na intervalu \(\varphi \in \langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle\) - pro jiné intervaly bychom museli změnit znaménko funkce arctg(x). Abychom mohli popsat inverzi pro daný úhel na celém jeho definičním intervalu, bývá často používána funkce arctg2(y,x) definovaná jako
- \(\operatorname{arctg2}(y,x) = \left\{\begin{matrix}
\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right),\ \ \ \ \ \ & \mbox{je-li } (x>0) \wedge (y>0), \\ \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) + \pi,\ & \mbox{je-li } (x<0), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) + 2\pi, & \mbox{je-li } (x>0) \wedge (y<0), \\ \end{matrix}\right.\)
Převod kartézských souřadnic na polární má potom zápis:
- \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)
- \(\varphi = \operatorname{arctg2}\left(y,x\right)\)
Metrické vlastnosti
Délka infinitesimální úsečky se spočte jako
- \(\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\varphi^2,\)
tedy délka křivky obecně jako
- \(\int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2
+r^2\left(\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2}}\mathrm{d}t,\)
kde t je parametr dané křivky a s je její délka od \(t_1\) do \(t_2\).
Obsah infinitesimálního elementu plochy spočteme jako
- \(\mathrm{d}S=r \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi,\)
takže celkový obsah spočteme integrací tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou v polárních souřadnicích.
Afinní konexe jsou dány vztahy
- \({\Gamma^r}_{rr}={\Gamma^\varphi}_{\varphi\varphi}=
{\Gamma^r}_{r\varphi}={\Gamma^r}_{\varphi r}={\Gamma^\varphi}_{rr}=0\)
- \({\Gamma^\varphi}_{\varphi r}={\Gamma^\varphi}_{r \varphi} = \frac{1}{r}\)
- \({\Gamma^r}_{\varphi \varphi}= -r\)
Diferenciální operátory v polárních souřadnicích
- \(\nabla f =
{\partial f \over \partial r }\boldsymbol{\hat r }
+ {1 \over r }{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi}
\)
- \(\nabla \cdot \mathbf{A} =
{1 \over r }{\partial \left( r A_r \right) \over \partial r }
+ {1 \over r }{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}
\)
- \(\Delta f = \nabla^2 f =
{1 \over r }{\partial \over \partial r }\left( r {\partial f \over \partial r }\right)
+ {1 \over r ^2}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
\)
- \(\Delta \mathbf{A} =
\left(\Delta A_r - {A_r \over r ^2}
- {2 \over r ^2}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r } +
\left(\Delta A_\varphi - {A_\varphi \over r ^2}
+ {2 \over r ^2}{\partial A_r \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat\varphi}
\)
Externí odkazy
- Polární souřadnice na MathWorldu
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |