Ve čtvrtek 13. března 2025 se podařilo týmu Multimediaexpo.cz
dokončit zcela nový balíček 900 000 fotografií na plných 100 procent !!
Nedostižná hranice 4 000 000 fotografií se února 2026 už nedožije...
FFresh emotion happy.png

Limita

Z Multimediaexpo.cz

Tento článek pojednává o limitě funkce nebo zobrazení. O limitě a kolimitě v teorii kategorií je článek Limita (teorie kategorií)

Limita je matematická konstrukce, vyjadřující, že se hodnoty zadané posloupnosti nebo funkce blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se u funkcí zapisuje limzz0f(z)=a a u posloupností limnan=a případně ana. Dle toho, zda se uvažuje o posloupnosti nebo o funkci, hovoříme o limitě posloupnosti nebo limitě funkce. Pojem limity lze definovat na libovolném metrickém prostoru.

Obsah

[skrýt]

Limita posloupnosti

Hlavní článek: Limita posloupnosti

Posloupnost (an)n=1limitu A, pokud se jejími hodnotami můžeme k A libovolně přiblížit. Tedy pro každé kladné číslo ε platí, že existuje nějaký člen posloupnosti, od kterého jsou už její hodnoty od A vzdáleny méně, než ε. Zapsáno symbolicky:

ε>0:nN:kn:|akA|<ε

Limita funkce

Hlavní článek: limita funkce

Říkáme, že funkce f(x) má v bodě a limitu A, jestliže k libovolnému ϵ>0 existuje takové δ>0 , že pro všechna x z δ-okolí bodu a, z něhož vyjmeme bod a (tzv. prstencová okolí bodu a) je |f(x)A|<ϵ,.

Limita vzhledem k podmnožině

(Speciální případ: Pravostranná a levostranná limita)

Vlastní a nevlastní limita

Limitou posloupnosti může být nejen číslo (tj. vlastní limita), ale i symbol + nebo (nevlastní limita). Limitu funkce lze zkoumat ve vlastním bodě (v reálném čísle), tak i v nevlastním bodě + nebo . V obou případech může být limita vlastní, nevlastní nebo limita nemusí existovat.

Zobecnění pro topologické prostory

Limita zobrazení f:AB mezi topologickými prostory je v bodě a definována jako bB takové, že pro každé okolí O(b) bodu b existuje okolí O(a) bodu a takové, že xO(a) implikuje f(x)O(b). Dalším zobecněním limity posloupnosti, funkce i zobrazení jsou limity sítí[1]. Limita zobrazení nebo sítě může být v obecném topologickém prostoru víceznačná. Platí však, že v Hausdorffově prostoru, je tato limita jednoznačná, t.j. každá síť má nejvýše jednu limitu.

Příklady

  • Funkce sinxx není v nule definovaná, ale má v ní limitu 1[pozn 1] (vlastní limita ve vlastním bodě) a v + má limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě).
  • Funkce sinx je v nule spojitá (limita je 0) a v + limitu nemá. Obě tato tvrzení platí i o funkci xsinx
  • Funkce sin1x ani sin1xx v nule limitu nemají. Totéž platí i o funkcích 1x či 1x3, ovšem ty mají alespoň jednostranné limity: jejich pravostranná limita je + a levostranná . Naproti tomu funkce 1x2 a 1x4 mají v nule limitu + (nevlastní limita ve vlastním bodě).
  • Funkce ex má v limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě) a v + limitu +.

Poznámky

  1. To lze intuitivně zdůvodnit tak, že funkce sin x má v okolí nuly "velmi podobný" průběh, jako funkce f(x) = x; proto se jejich poměr blíží k jedné.

Související články

Reference

  1. Michael C. Gemignani, Elementary topology, Courier Dover Publications, 1990 (strana 122, def. 3)