Limita

Z Multimediaexpo.cz

Tento článek pojednává o limitě funkce nebo zobrazení. O limitě a kolimitě v teorii kategorií je článek Limita (teorie kategorií)

Limita je matematická konstrukce, vyjadřující, že se hodnoty zadané posloupnosti nebo funkce blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se u funkcí zapisuje $lim_{z \to z_{0}} f (z) = a$ a u posloupností $lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ případně $a_{n} \to a$ . Dle toho, zda se uvažuje o posloupnosti nebo o funkci, hovoříme o limitě posloupnosti nebo limitě funkce. Pojem limity lze definovat na libovolném metrickém prostoru.

Obsah

[skrýt]

1 Limita posloupnosti
2 Limita funkce
3 Limita vzhledem k podmnožině
4 Vlastní a nevlastní limita
5 Zobecnění pro topologické prostory
- 5.1 Příklady
6 Poznámky
7 Související články
8 Reference

Limita posloupnosti

Hlavní článek: Limita posloupnosti

Posloupnost ${(a_{n})}_{n = 1}^{\infty}$ má limitu A, pokud se jejími hodnotami můžeme k A libovolně přiblížit. Tedy pro každé kladné číslo $ε$ platí, že existuje nějaký člen posloupnosti, od kterého jsou už její hodnoty od A vzdáleny méně, než $ε$ . Zapsáno symbolicky:

\forall ε > 0 : \exists n \in N : \forall k \geq n : | a_{k} - A | < ε

Limita funkce

Hlavní článek: limita funkce

Říkáme, že funkce f(x) má v bodě a limitu A, jestliže k libovolnému $ϵ > 0$ existuje takové $δ > 0$ , že pro všechna x z $δ$ -okolí bodu a, z něhož vyjmeme bod a (tzv. prstencová okolí bodu a) je $| f (x) - A | < ϵ,$ .

Limita vzhledem k podmnožině

(Speciální případ: Pravostranná a levostranná limita)

Vlastní a nevlastní limita

Limitou posloupnosti může být nejen číslo (tj. vlastní limita), ale i symbol $+ \infty$ nebo $- \infty$ (nevlastní limita). Limitu funkce lze zkoumat ve vlastním bodě (v reálném čísle), tak i v nevlastním bodě $+ \infty$ nebo $- \infty$ . V obou případech může být limita vlastní, nevlastní nebo limita nemusí existovat.

Zobecnění pro topologické prostory

Limita zobrazení $f : A \to B$ mezi topologickými prostory je v bodě a definována jako $b \in B$ takové, že pro každé okolí O(b) bodu b existuje okolí O(a) bodu a takové, že $x \in O (a)$ implikuje $f (x) \in O (b)$ . Dalším zobecněním limity posloupnosti, funkce i zobrazení jsou limity sítí^[1]. Limita zobrazení nebo sítě může být v obecném topologickém prostoru víceznačná. Platí však, že v Hausdorffově prostoru, je tato limita jednoznačná, t.j. každá síť má nejvýše jednu limitu.

Příklady

Graf funkce $f (x) = \frac{\sin (x)}{x}$ . Je vidět, že tato funkce má limitu 1 v bodě nula.

Graf funkce $f (x) = \frac{1}{x}$ . Je vidět, že tato funkce nemá limitu v bodě nula a má vlastní limity 0 v $\pm \infty$ .

Graf funkce $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ . Je vidět, že tato funkce má nevlastní limitu $+ \infty$ v bodě nula a má vlastní limity 0 v $\pm \infty$ .

Funkce $\frac{\sin x}{x}$ není v nule definovaná, ale má v ní limitu 1^{[pozn 1]} (vlastní limita ve vlastním bodě) a v $+ \infty$ má limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě).
Funkce $\sin x$ je v nule spojitá (limita je 0) a v $+ \infty$ limitu nemá. Obě tato tvrzení platí i o funkci $x \cdot \sin x$
Funkce $\sin \frac{1}{x}$ ani $\frac{\sin \frac{1}{x}}{x}$ v nule limitu nemají. Totéž platí i o funkcích $\frac{1}{x}$ či $\frac{1}{x^{3}}$ , ovšem ty mají alespoň jednostranné limity: jejich pravostranná limita je $+ \infty$ a levostranná $- \infty$ . Naproti tomu funkce $\frac{1}{x^{2}}$ a $\frac{1}{x^{4}}$ mají v nule limitu $+ \infty$ (nevlastní limita ve vlastním bodě).
Funkce $e^{x}$ má v $- \infty$ limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě) a v $+ \infty$ limitu $+ \infty$ .

Poznámky

↑ To lze intuitivně zdůvodnit tak, že funkce sin x má v okolí nuly "velmi podobný" průběh, jako funkce f(x) = x; proto se jejich poměr blíží k jedné.

Související články

Reference

↑ Michael C. Gemignani, Elementary topology, Courier Dover Publications, 1990 (strana 122, def. 3)

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

[1] To lze intuitivně zdůvodnit tak, že funkce sin x má v okolí nuly "velmi podobný" průběh, jako funkce f(x) = x; proto se jejich poměr blíží k jedné.

[0] Michael C. Gemignani, Elementary topology, Courier Dover Publications, 1990 (strana 122, def. 3)

[1]

[pozn 1]