Elektrický potenciál

Z Multimediaexpo.cz

Elektrický potenciál je skalární fyzikální veličina, která popisuje potenciální energii jednotkového elektrického náboje v neměnném elektrickém poli. Jedná se tedy o potenciál elektrického pole, tzn. množství práce potřebné pro přenesení jednotkového elektrického náboje ze vztažného bodu, kterému je přisouzen nulový potenciál, do daného místa.

Za místo s nulovým potenciálem (tzn. vztažný bod) se obvykle bere buď nekonečně vzdálený bod (běžné u jiných potenciálů, u elektřiny obvykle pouze v teoretických úlohách), nebo povrch Země.

Obsah [skrýt] 1 Značení 2 Výpočet 2.1 Poissonova rovnice 3 Vlastnosti 4 Související články 5 Externí odkazy

Značení

• Značka: φ
• Jednotka: volt, značka: V

Výpočet

Jelikož elektrický potenciál vyjadřuje potenciální energii na jednotku náboje, je možné jej vyjádřit jako

$\phi =\frac{W}{Q}$,

kde W je potenciální energie nabitého tělesa a Q je jeho náboj.

Potenciál bodového náboje, který se nachází v počátku soustavy souřadnic, lze zapsat jako

$\phi (\mathit{r})=\frac{1}{4\pi \epsilon }\frac{Q}{r}+{\phi }_0$,

kde $\mathit{r}$ je polohový vektor bodu prostoru a ${\phi }_0$ je Integrační konstanta, která určuje hodnotu potenciálu v nekonečnu. Obvykle se klade ${\phi }_0=0$.

Potenciál objemově rozloženého náboje s hustotou náboje $\rho$ lze vyjádřit vztahem

$\phi (\mathit{r})=\frac{1}{4\pi \epsilon }{\int }_V\frac{\rho ({\mathit{r}}^{\prime })}{|\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\prime }|}\mathrm{d}V$,

kde $V$ je celkový objem, přes který se integruje.

Tento potenciál je definován ve všech bodech prostoru, tedy také v bodech, ve kterých je hustota náboje $\rho$ nenulová. Tím se potenciál spojitě rozloženého náboje odlišuje od potenciálu soustavy bodových nábojů. Tento potenciál je navíc všude spojitý a má ve všech bodech prostoru parciální derivaci alespoň prvního řádu, což v souvislosti s intenzitou elektrického pole znamená, že také intenzita pole daná tímto vztahem je definována ve všech bodech prostoru včetně bodů, v nichž je hustota náboje nenulová.

Potenciál plošně rozloženého náboje lze vyjádřit jako

$\phi (\mathit{r})=\frac{1}{4\pi \epsilon }{\int }_S\frac{\sigma ({\mathit{r}}^{\prime })}{|\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\prime }|}\mathrm{d}S$,

kde $\sigma$ je plošná hustota elektrického náboje.

Pro potenciál lineárně rozloženého náboje platí

$\phi (\mathit{r})=\frac{1}{4\pi \epsilon }{\int }_l\frac{\tau ({\mathit{r}}^{\prime })}{|\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\prime }|}\mathrm{d}l$,

kde $\tau$ je lineární hustota elektrického náboje.

Poissonova rovnice

Dosadíme-li do Gaussova zákona elektrostatiky pro spojitě rozložený náboj místo intenzity elektrického pole potenciál, dostaneme

$\mathrm{div}\mathit{E}=-\mathrm{div}\mathrm{grad}\phi =\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

Využijeme-li z vektorové analýzy tzv. Laplaceův operátor $\mathrm{\Delta }=\mathrm{div}\mathrm{grad}$, lze předchozí vztah zapsat ve tvaru Poissonovy rovnice

$\mathrm{\Delta }\phi =-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

Tato rovnice je platná ve všech bodech prostoru, v nichž platí Gaussův zákon.

Pokud je v některých bodech prostoru objemová hustota nulová, tzn. $\rho =0$, zjednoduší se předchozí rovnice na rovnici, která se označuje jako rovnice Laplaceova

$\mathrm{\Delta }\phi =0$

Vlastnosti

Na základě principu superpozice lze odvodit výraz pro potenciál soustavy $n$ bodových nábojů $Q_1$ až $Q_n$, jejichž polohové vektory jsou ${\mathit{r}}_1$ až ${\mathit{r}}_n$.

$\phi (\mathit{r})=\frac{1}{4\pi \epsilon }\sum _{i=1}^n\frac{Q_i}{|\mathit{r}-{\mathit{r}}_i|}+{\phi }_0$

Potenciál jednoho z bodových nábojů $Q_i$ ze soustavy nábojů $Q_1$ až $Q_n$ vzhledem k ostatním nábojům soustavy lze určit podle principu superpozice jako

${\phi }_i=\frac{1}{4\pi \epsilon }\sum _{j\ne i}\frac{Q_j}{|{\mathit{r}}_i-{\mathit{r}}_j|}$

Záporný gradient potenciálu je roven intenzitě elektrického pole, tzn.

$\mathit{E}(\mathit{r})=-\mathrm{grad}\phi (\mathit{r})$

Potenciál elektrostatického pole lze podle chápat jako potenciální energii jednotkového náboje. Položíme-li potenciál v nekonečnu roven nule, tzn. ${\phi }_0=0$, potom lze podle předchozího vztahu psát

$\phi (\mathit{r})=-{\int }_{\mathrm{\infty }}^{\mathit{r}}\mathit{E}\cdot \mathrm{d}\mathit{l}$

Rozdíl potenciálů je roven napětí mezi danými body.

Plocha, na níž si potenciál zachovává svoji hodnotu, tzn. $\phi =\text{konst}$, se nazývá ekvipotenciální plocha.

Siločáry jsou vždy kolmé k ekvipotenciálním plochám. To lze ukázat diferenciací vztahu $\phi =\text{konst}$, tzn.

$\mathrm{d}\phi =\frac{\partial \phi }{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial \phi }{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial \phi }{\partial z}\mathrm{d}z=-(E_x\mathrm{d}x+E_y\mathrm{d}y+E_z\mathrm{d}z)=-\mathit{E}\cdot \mathrm{d}\mathit{r}=0$,

kde $\mathrm{d}\mathit{r}$ leží v tečné rovině k ekvipotenciální ploše. Vektory $\mathit{E}$ a $\mathrm{d}\mathit{r}$ jsou tedy vzájemně kolmé, tzn. $\mathit{E}$ je kolmé k ekvipotenciální ploše.

Související články

• Elektrické napětí
• Elektrický náboj
• Elektrické pole

Externí odkazy

Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu Elektrický potenciál

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii