V pátek 26. dubna 2024 úderem 22 hodiny začíná naše nová
a opravdu velká série soutěží o nejlepší webovou stránku !!
Proto neváhejte a začněte hned zítra soutěžit o lákavé ceny !!

Okruh (algebra)

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Masivní vylepšení)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Okruh (algebra)|700}}
+
'''Okruh''' je v [[matematika|matematice]] [[algebraická struktura]] s dvěma [[binární operace|binárními operacemi]] běžně nazývanými [[sčítání]] a [[násobení]]. Přitom sčítání splňuje axiomy [[Abelova grupa|Abelových grup]] a násobení axiomy [[monoid|monoidu]]. Typickým příkladem okruhu je [[množina]] [[celá čísla|celých čísel]] s běžně známými operacemi sčítání a násobení.
-
 
+
 
 +
== Definice okruhu ==
 +
 
 +
[[Struktura (logika)|Strukturu]] <math>R</math> s nosičem ''R'' a dvěma binárními operacemi '''+''' ([[sčítání]]) a '''·''' ([[násobení]]) na ''R'' nazýváme '''okruh''', platí-li pro všechny prvky ''R''  ''x'', ''y'', ''z'' následující [[axiom]]y:
 +
 
 +
# [[Uzavřená množina vůči operaci|Uzavřenost]] obou operací: ''x'' + ''y'' i ''x'' '''·''' ''y'' jsou prvky ''R''.
 +
# [[Asociativita]] sčítání i násobení: (''x'' + ''y'') + ''z'' = ''x'' + (''y'' + ''z''), (''x'' '''·''' ''y'') '''·''' ''z'' = ''x'' '''·''' (''y'' '''·''' ''z'').
 +
# Existence [[neutrální prvek|nulového prvku]] ''0''.
 +
# Existence [[inverzní prvek|opačného prvku]]: pro každé ''x'' z ''R'' existuje  ''y'' z ''R'' tak, že ''x'' + ''y'' = ''0'' = ''y'' + ''x'', značíme ''y'' = −''x''.
 +
# [[Komutativita]] sčítání: ''x'' + ''y'' = ''y'' + ''x''.
 +
# (Oboustranná) [[distributivita]] násobení ke sčítání: ''x'' '''·''' ( ''y'' + ''z'') = (''x'' '''·''' ''y'') + (''x'' '''·''' ''z''), ( ''y'' + ''z'') '''·''' ''x'' = ( ''y'' '''·''' ''x'') + (''z'' '''·''' ''x'').
 +
 
 +
== Vlastnosti ==
 +
 
 +
Množina ''R'' s operací +, tj. (''R'', +), je tedy [[Abelova grupa]].
 +
Množina ''R'' s operací '''·''', tj. (''R'', '''·'''), je tedy [[pologrupa]].
 +
 
 +
Pokud navíc existuje jednotkový prvek (neutrální při násobení), jedná se o unitární okruh (nebo také okruh s jednotkovým prvkem).
 +
Pokud navíc neexistují tzv. [[dělitel nuly|dělitelé nuly]], jedná se o tzv. [[obor]].
 +
Pokud je obor navíc komutativní, jedná se o [[obor integrity]].
 +
 
 +
Pokud existují v unitárním okruhu [[Inverzní prvek|převrácené prvky]], nazýváme takový okruh [[Těleso (algebra)|těleso]]. Jeho nenulové prvky tvoří tedy s operací násobení [[grupa|grupu]].
 +
 
 +
== Příklady okruhů ==
 +
* Obor [[Celé číslo|celých čísel]] <math>\scriptstyle \mathbb{Z}</math>
 +
* [[Lineární zobrazení]] na <math>\scriptstyle \mathbb{R}^n</math> s operací [[sčítání]] a [[Skládání zobrazení|skládání]] tvoří okruh. Obecná [[Zobrazení (matematika)|zobrazení]] však okruh netvoří, neboť není splněn předpoklad distributivity skládání.
 +
* [[Triviální okruh]] ''R'' = {0}. Jedná se o jediný okruh takový, že 0 = 1.
 +
 
 +
== Podokruh ==
 +
''S'' je neprázdná podmnožina okruhu (''R'', +, '''·''') je '''podokruh''' (S, +, '''·''') okruhu ''R'', právě když pro všechna ''a, b'' z ''S'' do něj patří ''a-b'' i ''a·b''.
 +
 
 +
== Související články ==
 +
* [[Grupa]]
 +
* [[Těleso (algebra)|Těleso]]
 +
* [[Obor integrity]]
 +
 
 +
== Externí odkazy ==
 +
* [http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lmotm275/skripta/mzahrad/node21.html Skripta Pěstujeme lineární algebru]
 +
* [http://mathworld.wolfram.com/Ring.html Okruh na MathWorld (anglicky)]
 +
* [http://mathworld.wolfram.com/Subring.html Podokruh na MathWorld (anglicky)]
 +
 
 +
 
 +
{{Článek z Wikipedie}}  
[[Kategorie:Algebraické struktury]]
[[Kategorie:Algebraické struktury]]

Verze z 7. 8. 2014, 13:43

Okruh je v matematice algebraická struktura s dvěma binárními operacemi běžně nazývanými sčítání a násobení. Přitom sčítání splňuje axiomy Abelových grup a násobení axiomy monoidu. Typickým příkladem okruhu je množina celých čísel s běžně známými operacemi sčítání a násobení.

Obsah

Definice okruhu

Strukturu <math>R</math> s nosičem R a dvěma binárními operacemi + (sčítání) a · (násobení) na R nazýváme okruh, platí-li pro všechny prvky R x, y, z následující axiomy:

  1. Uzavřenost obou operací: x + y i x · y jsou prvky R.
  2. Asociativita sčítání i násobení: (x + y) + z = x + (y + z), (x · y) · z = x · (y · z).
  3. Existence nulového prvku 0.
  4. Existence opačného prvku: pro každé x z R existuje y z R tak, že x + y = 0 = y + x, značíme y = −x.
  5. Komutativita sčítání: x + y = y + x.
  6. (Oboustranná) distributivita násobení ke sčítání: x · ( y + z) = (x · y) + (x · z), ( y + z) · x = ( y · x) + (z · x).

Vlastnosti

Množina R s operací +, tj. (R, +), je tedy Abelova grupa. Množina R s operací ·, tj. (R, ·), je tedy pologrupa.

Pokud navíc existuje jednotkový prvek (neutrální při násobení), jedná se o unitární okruh (nebo také okruh s jednotkovým prvkem). Pokud navíc neexistují tzv. dělitelé nuly, jedná se o tzv. obor. Pokud je obor navíc komutativní, jedná se o obor integrity.

Pokud existují v unitárním okruhu převrácené prvky, nazýváme takový okruh těleso. Jeho nenulové prvky tvoří tedy s operací násobení grupu.

Příklady okruhů

Podokruh

S je neprázdná podmnožina okruhu (R, +, ·) je podokruh (S, +, ·) okruhu R, právě když pro všechna a, b z S do něj patří a-b i a·b.

Související články

Externí odkazy


Citováno z „http://www.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Okruh_(algebra)“