V neděli 16. března 2025 se podařilo týmu Multimediaexpo.cz
dokončit zcela nový balíček 920 000 fotografií na plných 100 procent !
Nedostižná hranice 4 000 000 fotografií se února 2026 už nedožije...
FFresh emotion happy.png

Ortogonalita

Z Multimediaexpo.cz

(Přesměrováno)

Původem řecké slovo ortogonální znamená pravoúhlý (z řec. ορθος pravý a γονια úhel).

Obsah

[skrýt]

Elementární geometrie

Původně byl termín užíván pouze v kontextu elementární geometrie pro označení přímek protínajících se v pravém úhlu (jinak řečeno pokud všechny čtyři úhly, které protínající se přímky vymezují, jsou stejné). Pravému úhlu odpovídá velikost 90° nebo π/2 radiánu. Viz též pravoúhlý trojúhelník. V geometrii je ortogonalita označována jako kolmost.

Zobecněné významy

S rozvojem linearní algebry došlo k zobecnění pojmu ortogonality na obecné vektorové prostory se skalárním součinem (tzv. unitární prostory). Vektory jsou nazývány ortogonálními, je-li jejich skalární součin nulový. Význačnou úlohu hrají ortogonální báze, zvláště u nekonečnědimenzionálních prostorů, kde je pojem úplnosti báze netriviální a ortogonalita usnadňuje jeho definici. Důležitým příkladem jsou systémy ortogonálních funkcí umožňující vyjádřit libovolnou funkci z daného prostoru funkcí jako součet nekonečné řady vektorů báze.

Pokud mají navíc vektory jednotkovou normu (velikost), pak jde o ortonormalitu (ortonomální vektor, ortonomální báze).

V kvantové teorii, kde jsou stavům systému přiřazeny vektory z Hilbertova prostoru, odpovídají ortogonální vektory takovým stavům, kde pravděpodobnost nalezení jednoho ve druhém je nulová. Obvykle pak stavy odpovídající klasickým stavům (tj. stavy jednoznačně určené hodnotami měřitelných veličin) tvoří ortogonální bázi Hilbertova prostoru.

Ortogonální funkce

Systém funkcí fn je v intervalu a,b ortogonální s váhou w(x), kde w(x)0, pokud pro každou dvojici fi(x),fk(x) platí

abw(x)fi(x)fk(x)dx=0 pro ik.

Funkci f nazýváme normovanou s váhou w(x), jestliže platí

abw(x)f2(x)dx=1

Systém funkcí fn ortogonální s váhou w(x), kde každá funkce fn je normovaná s váhou w(x), nazýváme ortonormální (ortonormovaný) s váhou w(x).

Systém ortogonálních funkcí v L2

Systémy ortogonálních funkcí v prostoru L2 našly praktické uplatnění především v kvantové mechanice.

Funkce f,gL2(a,b) označujeme jako ortogonální v prostoru L2(a,b) (na intervalu a,b), pokud platí

(f,g)=0,

přičemž skalární součin v předchozím vztahu vyjadřujeme jako

abf(x)g(x)dx=0

Funkci f nazýváme normovanou v prostoru L2(a,b), je-li její norma rovna jedné, tzn.

f=1

Máme-li konečný nebo spočetný systém funkcí fnL2(a,b), pak říkáme, že tento systém je ortogonální v L2(a,b), pokud pro každou dvojici funkcí fi,fk platí

(fi,fk)=0 pro ik.

Je-li navíc každá funkce fn normovaná, pak říkáme, že systém funkcí je ortonormovaný (ortonormální). V takovém případě platí

(fi,fk)=δik,

kde δik je Kroneckerův symbol.

Máme-li ortogonální systém funkcí a pro všechny funkce fn platí, fn0, pak lze vytvořit ortonormální systém zavedením gn(x)=fn(x)fn.

Mikroprocesorová technika

V mikroprocesorové technice ortogonalita představuje architekturu procesoru schopnou rozdělit při zpracování instrukci na více úkonů a ty (díky vhodnému návrhu jeho ALU nebo jiných integrovaných obvodů) provést v jednom strojovém cyklu. Tuto vlastnost mají zejména procesory RISC, například ARM7TDMI.

Související články